DẠNG TOÁN LỚP 5: CHIA HÌNH CHO TRƯỚC
THÀNH CÁC PHẦN THEO TỈ SỐ DIỆN TÍCH

Tạp chí “Thế giới trong ta” số 3+4-2011 có bài viết của tác giả Thy Yên “Bồi dưỡng kiến thức hình học cho học sinh lớp 5 bằng dạng toán chia hình cho trước thành các phần theo tỷ số diện tích”, tác giả đã tìm tòi và đưa ra cách giải quyết một dạng toán ít gặp nhưng rất bổ ích cho việc: củng cố, khắc sâu, nâng cao kiến thức hình học cho học sinh lớp 5, giúp giáo viên tiểu học rèn luyện năng lực dạy giải toán hình học nói riêng và giải toán tiểu học nói chung.
Đọc xong bài viết, tôi thấy: Mỗi bài tập ví dụ đưa ra, tác giả đã có ngay kết quả chia hình. Làm như vậy, bài toán không khác gì các bài toán hình học phổ biến trong toán 5 (đại trà và nâng cao) là “cho hình đã được chia, so sánh tỷ lệ diện tích các hình, tỷ lệ các đoạn thẳng, …”.
Tôi muốn góp thêm ý kiến với tác giả: đây là dạng toán ngược với dạng toán phổ biến trên. Làm sao để có được cách chia hình (theo yêu cầu đề toán) mới là yêu cầu cấn đạt khi giải bài toán dạng này. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh lớp 5. Vì thực chất các bài toán dạng này không khác gì các bài toán dựng hình THCS, THPT.
Để giải được các bài toán dạng này đòi hỏi người dạy, người học phải rất thành thục việc vận dụng linh hoạt các công thức tính diện tích các hình đã học, nổi bật nhất là mối quan hệ giữa các yếu tố trong từng công thức. Điều này tác giả đã nói rõ trong phần đầu bài viết.
Trở lại với những ví dụ tác giả đã nêu trong bài viết:
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD, nối A với C. Hãy tìm một điểm E trên AC sao cho khi nối B với E và D với E (trong bài in là nối với N) thì hai đoạn thẳng BE và DE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài giải: (Theo bài viết) Lấy E là trung điểm của AC, nối E với B và E với D thì 2 đoạn thẳng DE và BE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. Thật vậy: …
Yêu cầu của bài toán: Hãy tìm một điểm E trên AC sao cho …
Phải “tìm” như thế nào để lấy được “E là trung điểm của AC” mới là giải bài toán. Việc chứng minh sau đó cũng là một phần của bài giải nhưng là chứng minh “bài giải là đúng” chứ không phải chứng minh “E là điểm giữa của AC thoả mãn yêu cầu bài toán”. (Nếu khi lấy E là điểm giữa của AC mà chứng minh E không thoả mãn yêu cầu bài toán thì có nghĩa phải chọn E ở vị trí khác trên AC!)
Bài giải (phải có phần “tìm” – theo yêu cầu đề ra):
Giả sử điểm E đã được chọn.
Theo bài ra: E phải thoả mãn để S(ABED) = S(BEDC).
S(ABED) = S(ABE) + S(AED) S(BEDC) = S(BEC) + S(EDC)
Muốn vậy, S(ABE) = S(BEC) và S(AED) = S(EDC).
2 tam giác ABE và BED có chung đường cao hạ từ
B xuống AC; để S(ABE) = S(BEC) thì AE = EC => E là
điểm giữa của AC..
Khi E là điểm giữa của AC thì, tương tự, ED chia tam
giác ADC thành 2 phần có diện tích có diện tích bằng nhau.
Vậy, điểm E cần tìm là điểm giữa của AC.
Thật vậy: (theo chứng minh của tác giả Thy Yên).
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC, hãy vẽ một đường thẳng đi qua hai cạnh AB và AC chia tam giác đó thành hai phần bằng nhau (có diện tích bằng nhau)
Bài giải : « .... Trên cạnh AC lấy một điểm N sao cho NC =
AC. Trên AB lấy điểm M sao cho MB =
AB. Nối M với N ta được đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau, hay ... ».
Đã « tìm » đâu mà biết ngay được ví trí 2 điểm cắt đường thẳng cần vẽ với AC và AB là N và
M với «  NC =
AC và MB =
AB ».
Theo tôi, bài giải phải thêm:
Vẽ đường thẳng chia tam giác ABC thành 2 phần,
cắt AC tại N, AB tại M.
Đoạn thẳng MN phải thoả mãn điều kiện:
S(AMN) = S(MNCB) =
S(ABC). Nối BN. Nếu S(MNB